方差和期望的公式在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量特征的重要指标。期望反映了随机变量的平均值或中心位置，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。掌握这两者的计算公式，有助于我们更好地领会和分析数据。
下面内容是对期望和方差公式的划重点，并以表格形式进行对比展示。
一、期望（Expectation）
定义：期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均动向，也称为数学期望。
公式：
– 离散型随机变量：
$$
E(X) = \sum_i=1}^n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
其中，$x_i$ 是随机变量的可能取值，$P(X = x_i)$ 是对应的概率。
– 连续型随机变量：
$$
E(X) = \int_-\infty}^\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$f(x)$ 是概率密度函数。
二、方差（Variance）
定义：方差表示随机变量与其期望之间的差异程度，数值越大，说明数据越分散。
公式：
– 离散型随机变量：
$$
\textVar}(X) = E\left[(X – E(X))^2\right] = \sum_i=1}^n} (x_i – E(X))^2 \cdot P(X = x_i)
$$
– 连续型随机变量：
$$
\textVar}(X) = \int_-\infty}^\infty} (x – E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
$$
顺带提一嘴，方差还可以通过下面内容等价公式计算：
$$
\textVar}(X) = E(X^2) – [E(X)]^2
$$
三、拓展资料表格
| 指标 | 定义 | 离散型公式 | 连续型公式 |
| 期望 $E(X)$ | 随机变量的平均值 | $\sum_i=1}^n} x_i \cdot P(X = x_i)$ | $\int_-\infty}^\infty} x \cdot f(x) \, dx$ |
| 方差 $\textVar}(X)$ | 随机变量与期望的偏离程度 | $\sum_i=1}^n} (x_i – E(X))^2 \cdot P(X = x_i)$ | $\int_-\infty}^\infty} (x – E(X))^2 \cdot f(x) \, dx$ |
| 另一种计算方式 | $E(X^2) – [E(X)]^2$ | $E(X^2) – [E(X)]^2$ |
四、
期望和方差是统计分析中不可或缺的两个基本概念。领会它们的公式及其应用场景，有助于我们在实际难题中更准确地分析数据分布和不确定性。无论是进行数据分析、风险评估还是机器进修建模，掌握这些基础概念都是必不可少的。
以上就是方差和期望的公式相关内容，希望对无论兄弟们有所帮助。
